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馬可夫鏈

馬可夫鏈 ( Markov chain )係一種用嚟模擬一連串可能事件嘅隨機性數學模型。喺一條馬可夫鏈當中有若干個可能狀態,而每個狀態 s i {\displaystyle s_{i}} 都會有一串數字 } 表示世界由 s i {\displaystyle s_{i}} 呢個狀態變成另一個狀態嘅機會率。

                                               

高斯消去法

高斯消去法 (粵拼: gou 1 si 1 siu 1 heoi 3 faat 3 ),又叫 橫行消去法 ,係線性代數入面嘅一種演算法,用嚟解線性方程組。簡單啲嚟講就係用一系列嘅橫行運算嚟處理一個線性方程組。呢個方法亦都可以用來搵一個矩陣嘅秩、行列式,同埋搵一個可逆方形矩陣嘅逆。 ...

                                               

黃金長方形

喺幾何學上,一個 黃金長方形 ( golden rectangle )係指一個長同闊成黃金比例 1: φ = 1: 1 + 5 2 ≈ 1: 1.618 {\displaystyle 1:\varphi =1:{\dfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1:1.618} 嘅長方形。 黃金長方形有一種好特別嘅自相似特性,如果沿著條邊切走個最大 ...

                                               

三角咗嘅範疇

三角咗嘅範疇 係種加性範疇,特徵係佢上面有種結構叫做「特別三角形」,可以用來整長正合序列;喺佢上面可以研究同調代數。導範疇就係種三角咗嘅範疇。

                                               

羣 (Group)係數學上一種代數結構。一個羣係一個集(set),喺上面定義一種運算(operation)(一般叫佢做「乘法」,不過唔一定係、多數時候都唔係指四則運算嘅「乘法」),要令到集裏面任意兩個元素(element)進行運算,結果仍然係呢個集嘅元素。羣必須符合以下 ...

                                               

表示得函子

表示得函子係種函子 F: C ⟶ S e t s {\displaystyle F:C\longrightarrow Sets} ,同構於佢嘅範疇 嘅某支Hom 函子 ,例如 H o m C: C ⟶ S e t s: Y → H o m C {\displaystyle Hom_{C}:C\longrightarrow Sets:Y\rightarrow Hom_{C}} ,其中 X 係範疇 C 入面嘅一件嘢, ...

                                               

數學證明

數學證明 (粵拼:sou 3 hok 6 zing 3 ming 4 ;英文: mathematical proof ),通常就噉簡稱做「證明」,係數學家研究數學嘅一種工具。喺呢個過程入面,數學家會先諗出一柞公理(axiom)-一啲佢哋認為好明顯係真,唔使證明都可以攞嚟用嘅命題(proposition)-或 ...

                                               

分類證明

分類證明 (粵拼:Fan 1 leoi 6 zing 3 ming 4 ;英文:Proof by exhaustion,或者 Proof by cases)係咁多種證明方法之一。當一個命題出現多個可能嘅時候,就可以將佢分做 個案 (Case),再睇下每個個案出嚟嘅結果。利用分類證明嘅定理包括咗四色問題(Four Colou ...

                                               

否定證明

否定證明 (粵拼:Fau 2 ding 6 zing 3 ming 4 ;英國話:Proof by negation,又或者 Proof by contrapositive)係數學入面其中一個證明方法。佢同矛盾證明好似,不過係兩個唔同嘅概念。根據邏輯,「 A ⟹ B {\displaystyle A\implies B} 」係等於「 not B ⟹ not A { ...

                                               

數理物理學

數理物理學 係理論物理學中,有嚴格數學定義嗰一部份。渠係現代數學嘅一個重要方向。 數學家同物理學家嘗試瞭解量子重力、量子場論同埋超弦理論嘅努力,係數理物理學嘅主要動力源泉。 渠大致包括以下主題: 拓撲場理論 待續 廣義相對論 保角場理論 Gromov-Witten 理 ...

                                               

PCT 定理

PCT 定理 係公理化量子場論入面嘅一條定理;話喺某啲假設下 同解析性),一量子場系統有「PCT 對稱性」,C指 charge,T 指time),即係話若果我哋一下反轉曬左右,正負賀同時嘅方向,個系統有唔變性。

                                               

T-對偶

T-對偶係弦論嘅一種對偶原則,lung 埋大規模同細範圍嘅理論物理現象。 T-對偶最基本嘅形式係:有一維度 x 25 {\displaystyle x_{25}} 被緊緻化咗做個半徑 R 嘅圓嘅玻色弦 en:bosonic string理論。呢個模型嘅兩極限 R → ∞ {\displaystyle R\to \infty } 同 R → 0 {\d ...

                                               

Yangian

楊代數 (楊子、 Yangian )係種無限維Hopf代數,演譯譜參量 楊-巴克斯特方程 嘅最簡單解:比例型R矩陣 。

                                               

量子羣

量子羣 (英文: quantum groups )係一系列代數結構嘅通稱,(暫時未有公認嘅定義),包括量子包絡代數同埋子函數代數,一般指由「經典」代數結構(好似李代數)形變而得嘅代數。數理學人注意到呢啲嘢至少已有幾廿年;Drinfeld係佢1986年響Berkeley ICM嘅講座中提 ...

                                               

Dirac 方程

物理學入面 Dirac 方程 係相對性量子力學嘅一條波方程式,英國物理學家Paul Dirac喺1928年寫出,形容基本嘅自旋-½粒子,例如電子,同時符合量子力學原理同特殊相對論。條式要求、甚至喺實驗之前預測咗反粒子,預測咗正電子,係現代理論物理嘅一個里程碑。

                                               

波動方程

一般嚟講,波動方程可以寫成 ∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ∂ t 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}} ,有人寫 ∂ 2 y ∂ x 2 = 1 c 2 ∂ 2 y ∂ t 2 {\displaystyle {\frac {\partia ...

                                               

線性方程組

線性方程組 (粵拼: sin 3 sing 3 fong 1 cing 4 zou 2 ;英文: system of linear equations / linear system )喺數學上係指一組冚唪唥都係用同一組未知數嘅線性方程式,形式係: { a 1, 1 x 1 + a 1, 2 x 2 + ⋯ + a 1, n x n = b 1 a 2, 1 x 1 + a 2, 2 x 2 + ⋯ ...

                                               

范德華方程式

范德華方程式 ,簡稱 范氏方程式 ,係荷蘭物理學家范德華喺1873年提出嘅一種實際氣體狀態方程,亦都係對理想氣體狀態方程式嘅一種改進。 范德華方程式公式係: p + a ′ v 2 v − b ′ = k T {\displaystyle \leftp+{\frac {a}{v^{2}}}\right\leftv-b\right=kT} k 係玻 ...

                                               

不等式

不等式 ( Inequality ),通俗講法叫 唔等如 或者 唔等於 ,係數學上一個基本概念,喺任何範疇入面都會出現或者用到,最常見嘅就係數學分析。不等式係嚟自於實數嘅三叉性質,但係佢喺其他地方都係成立嘅。 不等式最基本嘅概念,係同等式或者叫等於相反,不等式可以 ...

                                               

乘 係數學運算一種,現代數學會以乘號表示。乘唔易以三言兩語概括,一般入門會以自然數介紹,相加多次數講解。乘數結果爲積。加、減、乘、除,合稱四則運算。

                                               

商餘

商餘 (Modulo),又叫 同餘運算 或者 模數 ,係一範涉及整數嘅算術。一般英文係叫「mod」,中文音譯係「模」,廣東讀音係「莫」嚟表示商餘。商餘主要係一套計算餘數嘅計算系統。商餘亦係奧數入面其中一個重要嘅概念。日常生活例子有時鐘,十二小時進制同廿四小時進 ...

                                               

心算

心算 係專指只係用人腦嘅計算,唔需要外在輔助。唔使用紙筆,唔用手指,唔用算盤,亦都唔用計數機。無合適架生之下,心算係必然方法。有陣時心算仲會快過其他方法。 遠古時曾認為思想在心,故此習慣上稱心算。後來都知計算用腦,不過仍叫心算。 心算會借咗獨有嘅計 ...

                                               

最大公因數

最大公因數 (Highest Common Factor,簡寫 H.C.F. ;或者Greatest Common Divisor,簡寫 G.C.D. ),又叫 最大公約數 ,係兩個或以上嘅整數入面嘅最大嗰個因數。譬如8同12嘅最大公因數係4。 喺數論入面,常用嘅叫法係GCD。而兩個整數a、b既最大公因數會用 gcd a, b ...

                                               

最細公倍數

最細公倍數 (Lowest Common Multiple,簡寫 L.C.M. ),又叫 最小公倍數 ,係兩個或以上嘅整數入面嘅最細嗰個倍數。譬如12同10嘅最大公因數係60。數學會用 l c m {\displaystyle lcm} 嚟表示a同b呢兩個數字嘅最細公倍數。

                                               

根式

根式 係有根號嘅數式。好似 1 + 5 2 {\displaystyle 1+{\sqrt {5}} \over 2} 噉。

                                               

減 係數學運算一種,由原本一組嘅度,拎走部分。例如: 36 − 11 = 25 {\displaystyle 36-11=25} 。現代數學會以減號表示。加、減、乘、除,合稱四則運算。

                                               

除 係數學運算一種,現代數學會以乘除表示。除唔易以三言兩語概括,一般入門會以自然數介紹,由大數相減多次細數講解。亦有說以乘嘅相反講解。加、減、乘、除,合稱四則運算。

                                               

羣論

羣論 係一門數學,係抽象數學嘅一門,主要研究一隻叫羣嘅代數結構。數論(number theory)、代數同埋幾何提供咗好多羣嘅例子。羣係更複雜嘅數學結構嘅基礎,例如有環、場、向量空間等等。好多數學嘅範疇入面都有羣嘅出現,羣論入面採用嘅方法亦都影響到其他代數嘅研 ...

                                               

Sylow p-子羣

Sylow p-子羣 係一有限羣中最大嘅p-羣(即 p 冪 -階嘅子羣)。

                                               

Young 對稱化子

Young對稱化子 係表示論入面嘅一種架生,用來整對稱羣 S d {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{d}} 嘅唔約得表示。

                                               

可除羣

喺羣論入面, 可除羣 係一種交換羣,入面「每一個元素都可以除以任意一個正整數」,或者準確啲黎講,對羣G入面嘅任何一個元素a,同埋任何一個正整數n,都存在一個元素 b ∈ G {\displaystyle b\in G} 符合 n b = a {\displaystyle nb=a} ,呢到nb嘅意思係n個b加埋一齊。

                                               

域中分數場

域中分數場 (Fields of Fractions of an Integral Domain)係一種代數結構。一般嚟講,就係大眾所認知嘅分數, m n, m, n ∈ Z {\displaystyle {\frac {m}{n}},m,n\in \mathbb {Z} } 。域中分數場利用呢個概念去應用係其他嘢上面。同時,呢個都係喺域(Integral Dom ...

                                               

子羣

子羣 (Subgroup),又寫做 子群 ,係數學嘅抽象代數中嘅一個概念。佢係群呢個概念嘅延伸。 每個群 G {\displaystyle G} ,都一定有兩個子群,一個係自己 G {\displaystyle G} ,另一個就係廢群 { e } {\displaystyle \{e\}} (Trivial group)。 最細嘅子群係廢群 ...

                                               

幾乎簡單羣

喺羣論入面, 幾乎簡單羣 係指一個羣,佢裝住一個唔交換簡單羣,而且被嗰個簡單羣嘅自同構羣裝住。用符號嚟寫,一個羣A係幾乎簡單若且唯若有個唔交換簡單羣S,符合 S ≤ A ≤ Aut ⁡ {\displaystyle S\leq A\leq \operatorname {Aut} } 。

                                               

循環群基本定理

循環群基本定理 (Fundamental Theorem of Cyclic Groups)係要講有幾多有限循環群同點搵佢哋。 如果 G = ⟨ a ⟩ {\displaystyle G=\langle a\rangle } 同 G {\displaystyle G} 嘅基數 30 {\displaystyle 30} 。呢條定理就會講出,如果 H {\displaystyle H} 係 G {\d ...

                                               

循環表示

循環表示 (Cycle Notation),又叫做 k {\displaystyle k} 循環 ( k {\displaystyle k} -cycle),係一種數學上嘅表達。主要係用嚟簡化執位入面轉換。 循環表示係由法國數學家郝氏(Cauchy)喺1815年發明,佢可以好簡單咁表達一個執位。 例如: ϕ = {\displaystyl ...

                                               

無限羣

無限李羣 無限一般線性羣 僅僅無限羣 Z, + {\displaystyle \mathbb {Z},+} ,整數加數羣,同 R, + {\displaystyle \mathbb {R},+} ,實數加數羣

                                               

相反羣

喺羣論入面, 相反羣 嘅概念可以幫我哋由一個羣整另一個羣出嚟,可以將左羣作用同右羣作用兩個概念對調。 么半羣、羣、環同代數都可以當做得一個物件嘅範疇,相反範疇呢個概念推廣嗮相反羣、相反環等等嘅概念。

                                               

羣範疇

喺代數入面, Grp (或者 Gp )範疇入面嘅物件就係所有嘅羣,而態射就係羣同態,所以呢個範疇係一個具體範疇。研究呢個範疇嘅學問就叫做羣論。

                                               

阿標羣

阿標羣 (粵拼: aa 3 biu 1 kwan 4 ;英文: Abelian Group )係抽象代數嘅概念。 個名出自19世紀嘅挪威數學家 - - 尼斯 亨利 阿比爾。

                                               

2φ1

數學分析入面, 2 φ 1 係支基本嘅q-幾何函數,係高斯超幾何級數 2 F 1 嘅推廣、q-形變,最初由Heine響19世紀提出。 正好似高超幾何級數, 2 φ 1 可以用級數定義,可用差分方程(微分方程嘅q-類比)刻劃,可用「積分」表達。

                                               

Drinfeld量子對

Drinfeld量子對 係Drinfeld響1986年Berkeley國際數學人大會上提出嘅一種代數構造,由(有限維)Hopf代數 A 同埋渠嘅對偶A * 整出個新嘅Hopf代數,重自動有埋半三角結構。 向量空間嘅層次上,量子對 同構於張量積 A⊗A * ; 渠嘅代數結構就麻煩的。

                                               

Goddard 唯一性定理

Goddard 唯一性定理 係頂點代數學入面嘅一條定理,話任一個場 A ,如果佢滿足一般頂點算子嘅局域性,而且佢同某一頂點算子 Y 響真空向量上嘅值一樣,咁就有 A=Y 。 Goddard 唯一性定理係態場對應嘅根本。

                                               

Grothendieck-Teichmüller 羣

Grothendieck-Teichmüller羣 係種辮羣外自同構嘅推廣、完備化;Drinfeld響渠1990年(英譯:1991年)嘅論文 度提出,來研究擬三角擬Hopf代數嘅對稱結構。

                                               

Jantzen濾

Jantzen濾 係表示論入面嘅一種架生、一種嘢整,用來研究範疇O嘅結構。J.C.Jantzen 響1979年提出,同時提出一猜想,而家叫做 Jantzen猜想 。

                                               

McKay對應

McKay對應 ,係種連結幾何、組合學同埋代數嘅基本關係。基本關係解釋咗幾何原本結尾嘅柏拉圖立體分類。

                                               

Shapiro引理

Shapiro引理 係李代數上同調論入面嘅一條定理。 設 M 係g-模 g 係李代數 C. g,M 係Chevalley鏈序列en:Chevalley complex), 咁 g 嘅上同調 H n g,M 定義為 C. 嘅上同調。 再設 M 係 h-模 h 係 g 嘅子代數 Coind h g M:= Hom Uh Ug---> M) 係逆誘導表示en:coinduc ...

                                               

Toeplitz矩陣

線性代數入面, Toeplitz矩陣 ,(個名來自Otto Toeplitz),又叫常對角矩陣,即係每條左上到右下嘅對角線都係常值嘅嘅(唔一定要四方形,長方都得)矩陣。例如: {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n ...

                                               

八重道

八重道 ( the Eightfold Way )即係李羣 sl 3 C (或者 SU)嘅伴隨表示( adjoint representation ) 響粒子物理學嘅叫法,因為渠嘅維數係八。起名嘅係 Murray Gell-Mann,暗喻佛家嘅八正道。 粒子物理學用八重道來表達夸克嘅 味 嘅對稱性。

                                               

可積表示

Kac-Moody 代數嘅表示論入面, 可積表示 ,或者叫 可積模 ,係有種局部有限性嘅模,容許「積分」到Kac-Moody 羣,其權空間嘅維度亦符合Weyl 特徵公式 。